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苏晚宝也是第一次看见这张卷子,本来听着老师讲课声音非常亲切,突然就听见叫她的名字。
“来吧。”王老师直接从台上走下来。
苏晚宝拿着空白的卷子走上去。
“(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积。”
“(2)若f(x)?1,求a的取值范围。”
晚宝站在讲台上,将题目看一下,心中快速想起方法。
一想起知识就很亲切,很喜欢这种将它在脑子里过一遍的感觉。
“她行吗?”
“这个夫子针对她,她都没看过这题,怎么可能写出来?”
“她明明站在那不行。”
“女子果然不适合读书,特别还是算数这种复杂的知识!”
只见她将卷子放在左手上,从讲台上拿根粉笔。
(1)当a=e时,f(x)=ex?1?lnx+1,f′(x)=ex?1?x1,f′′(x)=ex?1+x21,由于$f(1)=f(1)=1,f′(1)=0,f′′(1)=e>0
所以点(1,f(1))是曲线y=f(x)的极小值点,且该点处的切线方程为y=1
该切线与两坐标轴围成的三角形的顶点为(0,1)和(1,0),所以该三角形的面积为S=21×1×1=21
(2)由于f(x)?1,ex?1?lnx+lna?1既ex?1?lnx?lna+1,x?1?ln(lnx?lna+1),令u=lnx?lna+1,则x=eu+elna?1,代入上式,得eu+elna?2?lnu.
v=eu+elna?2,则u=ln(v?elna+2),代入v?ln(v?elna+2)+lnu.
由于v>0,所以lnv>?∞,所以只需考虑v?elna+2>0的情况,即v>elna?2,此时有v?ln(v?elna+2)+ln(lnv?lna+1).
令w=lnv?lna+1,则v=ew+elna?1,代入上式,得ew+elna?1?ln(ew?1)+w,即ew?1?elna?2w
由于w>0,所以只需考虑elna?2>0的情况,即a>e2,此时有ew?1?a?2w
令t=ew?1,则w=ln(
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